سلام.وقتتون بخیر
فرمولهای مشتق گیری چطور طراحی شدن؟مثلا چطور x بتوان 3,بعد از مشتق گیری تبدیل ب 3ایکس بتوان 2 میشه؟چرا اینطور میشه؟
یا اینکه چطوری سینوس در مشتق گیری تبدیل ب کوسینوس میشه؟
اثبات دارن؟میتونید برام توضیح بدید؟سایتی چیزی هست که اینها رو کامل توضیح بده؟
فرمول های مشتق گیری
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 2666-
سپاس: 4748
- جنسیت:
تماس:
Re: فرمول های مشتق گیری
چگونه می توان یک اثبات را مستقیماً از تعریف مشتق به عنوان حد بدون استفاده از هیچ یک از قوانین تمایز نوشت؟خوب میدونی (Derivative)، نرخ تغییرات یک تابع نسبت به یک متغیره همون شیب نمودار در یک نقطه یا یک پارامتر با چه سرعتی در زمان تغییر می‌کنه
$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
$g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{f(x+h)} - \frac{1}{f(x)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x)-f(x+h)}{f(x)f(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left(\frac{f(x)-f(x+h)}{h}\right)}{f(x)f(x+h)}$
از قانون حد ضریب استفاده کنید و 1- را از صورت‌گر خارج کنید. سپس موارد فوق معادل است
$\frac{\displaystyle-\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)}{\displaystyle\lim_{h \to 0}\left(f(x)f(x+h)\right)}$
$\frac{\displaystyle-\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)}{\displaystyle\lim_{h \to 0}\left(f(a)f(a+h)\right)}$
ببین ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}$و ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}$و نهایت ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}$ اقی همینطوریه از روی هوا نیومده اثبات داره
یه مثال دیگه $=\frac{d}{dx}(f(x))
$ دقت کن $=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
$و $=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}
$و $=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^x\cdot e^h-e^x}{h}
$و$=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^x(e^h-1)}{h}
$و$=e^x\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^h-1}{h}
$در نهایت $=e^x \cdot 1
$ببین ساده هست تو دبیرستان همینو گفتن بهتون دیگه $\begin{align}
(x^n)'&=\lim_{h \to 0} {(x+h)^n-x^n\over h}\\
&=\lim_{h \to 0} {x^n+nx^{n-1}h+{n(n-1)\over 2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n\over h} \\
&=\lim_{h \to 0} \left[ nx^{n-1}+{n(n-1)\over 2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1} \right]
\end{align}$که $\lim_{h \to 0} \left[ nx^{n-1}+{n(n-1)\over 2}x^{n-2}h+\dots+h^{n-1} \right]= nx^{n-1}$حتما میگی
سردرگمی در اثبات مشتق u(x)/v(x) اره $\frac{v\Delta u - u \Delta v}{v^2+v\Delta v}=\frac{v\Delta u - u \Delta v}{v^2}\cdot \left(1- \frac{\Delta v}{v}+ \frac{\Delta v^2}{v^2}\pm \dots \right)$
بازم تو همون حد درک کنی میتونی مشتق انتگرال بفهمی $\begin{align*}{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) + g\left( {x + h} \right) - \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right) + g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}\end{align*}$که میشه $\begin{align*}{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}\\ & = f'\left( x \right) + g'\left( x \right)\end{align*}$یا ${\left( {f\,g} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)g\left( x \right)}}{h}$که ${\left( {f\,g} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( {x + h} \right) - f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) + f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right)}}{h}$و$\begin{align*}{\left( {f\,g} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right)\left( {g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)} \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( x \right)\left( {f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)} \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {x + h} \right)\frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right)\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\end{align*}$در نهایت هم ${\left( {f\,g} \right)^\prime } = f\left( x \right)g'\left( x \right) + g\left( x \right)f'\left( x \right)$اثبات بقیه اا راحت بود نیاوردم برات
بزار راه ساده بهت بگم لگاریتم بلدی خوب $\begin{align*}y & = f\left( x \right)g\left( x \right)\\ \ln \left( y \right) & = \ln \left( {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right) = \ln f\left( x \right) + \ln g\left( x \right)\end{align*}$$\frac{{y'}}{y} = \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y' = y\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)$خیلی راحته $y' = f\left( x \right)g\left( x \right)\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\left( {fg} \right)^\prime } = g\left( x \right)f'\left( x \right) + f\left( x \right)g'\left( x \right)$ یا $\begin{align*}{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{f\left( {x + h} \right)}}{{g\left( {x + h} \right)}} - \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\,\,\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}\end{align*}$که ${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\,\,\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}$که ${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}\,\,\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{h}$توجه داشته باشید که تنها کاری که انجام دادم اینه که این دو مخرج را با هم عوض کردم از آنجایی که من کسرها را ضرب کردم می تونم این کار را انجام بدم در مرحله بعدهم کسر بزرگتر را می توان به صورت زیر تقسیم کرد.${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}\,\,\left( {\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right)}}{h} + \frac{{f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{h}} \right)$
$\begin{align*}{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } & = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( {x + h} \right)\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right)}}\,\left( {\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right)} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}} \right) - } \right.\\ & \hspace{2.25in}\left. {\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( x \right)} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}} \right)} \right)\end{align*}$
$\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} & = g'\left( x \right) & \hspace{0.5in} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( {x + h} \right) & = g\left( x \right) & \hspace{0.5in} & \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} & = f'\left( x \right) & \hspace{0.5in} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( x \right) & = f\left( x \right) & & \end{align*}$
$\begin{align*}{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } & = \frac{1}{{g\left( x \right)g\left( x \right)}}\,\,\left( {g\left( x \right)f'\left( x \right) - f\left( x \right)g'\left( x \right)} \right)\\ & = \frac{{f'\,g - f\,g'}}{{{g^2}}}\end{align*}$
روش لگاریتمی هم برات انجام بدم $\begin{align*}y & = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\\ \ln y & = \ln \left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right) = \ln f\left( x \right) - \ln g\left( x \right)\end{align*}$
$\frac{{y'}}{y} = \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y' = y\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)$
$\begin{align*}y' & = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)\\ & = \frac{{f'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{f'\left( x \right)g\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}} - \frac{{f\left( x \right)g'\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}} = \frac{{f'\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g'\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}}\end{align*}$
$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
$g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{f(x+h)} - \frac{1}{f(x)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x)-f(x+h)}{f(x)f(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left(\frac{f(x)-f(x+h)}{h}\right)}{f(x)f(x+h)}$
از قانون حد ضریب استفاده کنید و 1- را از صورت‌گر خارج کنید. سپس موارد فوق معادل است
$\frac{\displaystyle-\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)}{\displaystyle\lim_{h \to 0}\left(f(x)f(x+h)\right)}$
$\frac{\displaystyle-\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)}{\displaystyle\lim_{h \to 0}\left(f(a)f(a+h)\right)}$
ببین ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}$و ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}$و نهایت ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}$ اقی همینطوریه از روی هوا نیومده اثبات داره
یه مثال دیگه $=\frac{d}{dx}(f(x))
$ دقت کن $=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
$و $=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}
$و $=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^x\cdot e^h-e^x}{h}
$و$=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^x(e^h-1)}{h}
$و$=e^x\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^h-1}{h}
$در نهایت $=e^x \cdot 1
$ببین ساده هست تو دبیرستان همینو گفتن بهتون دیگه $\begin{align}
(x^n)'&=\lim_{h \to 0} {(x+h)^n-x^n\over h}\\
&=\lim_{h \to 0} {x^n+nx^{n-1}h+{n(n-1)\over 2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n\over h} \\
&=\lim_{h \to 0} \left[ nx^{n-1}+{n(n-1)\over 2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1} \right]
\end{align}$که $\lim_{h \to 0} \left[ nx^{n-1}+{n(n-1)\over 2}x^{n-2}h+\dots+h^{n-1} \right]= nx^{n-1}$حتما میگی
سردرگمی در اثبات مشتق u(x)/v(x) اره $\frac{v\Delta u - u \Delta v}{v^2+v\Delta v}=\frac{v\Delta u - u \Delta v}{v^2}\cdot \left(1- \frac{\Delta v}{v}+ \frac{\Delta v^2}{v^2}\pm \dots \right)$
بازم تو همون حد درک کنی میتونی مشتق انتگرال بفهمی $\begin{align*}{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) + g\left( {x + h} \right) - \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right) + g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}\end{align*}$که میشه $\begin{align*}{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}\\ & = f'\left( x \right) + g'\left( x \right)\end{align*}$یا ${\left( {f\,g} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)g\left( x \right)}}{h}$که ${\left( {f\,g} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( {x + h} \right) - f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) + f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right)}}{h}$و$\begin{align*}{\left( {f\,g} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right)\left( {g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)} \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( x \right)\left( {f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)} \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {x + h} \right)\frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right)\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\end{align*}$در نهایت هم ${\left( {f\,g} \right)^\prime } = f\left( x \right)g'\left( x \right) + g\left( x \right)f'\left( x \right)$اثبات بقیه اا راحت بود نیاوردم برات
بزار راه ساده بهت بگم لگاریتم بلدی خوب $\begin{align*}y & = f\left( x \right)g\left( x \right)\\ \ln \left( y \right) & = \ln \left( {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right) = \ln f\left( x \right) + \ln g\left( x \right)\end{align*}$$\frac{{y'}}{y} = \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y' = y\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)$خیلی راحته $y' = f\left( x \right)g\left( x \right)\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\left( {fg} \right)^\prime } = g\left( x \right)f'\left( x \right) + f\left( x \right)g'\left( x \right)$ یا $\begin{align*}{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{f\left( {x + h} \right)}}{{g\left( {x + h} \right)}} - \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\,\,\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}\end{align*}$که ${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\,\,\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}$که ${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}\,\,\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{h}$توجه داشته باشید که تنها کاری که انجام دادم اینه که این دو مخرج را با هم عوض کردم از آنجایی که من کسرها را ضرب کردم می تونم این کار را انجام بدم در مرحله بعدهم کسر بزرگتر را می توان به صورت زیر تقسیم کرد.${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}\,\,\left( {\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right)}}{h} + \frac{{f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{h}} \right)$
$\begin{align*}{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } & = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( {x + h} \right)\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right)}}\,\left( {\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right)} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}} \right) - } \right.\\ & \hspace{2.25in}\left. {\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( x \right)} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}} \right)} \right)\end{align*}$
$\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} & = g'\left( x \right) & \hspace{0.5in} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( {x + h} \right) & = g\left( x \right) & \hspace{0.5in} & \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} & = f'\left( x \right) & \hspace{0.5in} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( x \right) & = f\left( x \right) & & \end{align*}$
$\begin{align*}{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } & = \frac{1}{{g\left( x \right)g\left( x \right)}}\,\,\left( {g\left( x \right)f'\left( x \right) - f\left( x \right)g'\left( x \right)} \right)\\ & = \frac{{f'\,g - f\,g'}}{{{g^2}}}\end{align*}$
روش لگاریتمی هم برات انجام بدم $\begin{align*}y & = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\\ \ln y & = \ln \left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right) = \ln f\left( x \right) - \ln g\left( x \right)\end{align*}$
$\frac{{y'}}{y} = \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y' = y\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)$
$\begin{align*}y' & = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)\\ & = \frac{{f'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{f'\left( x \right)g\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}} - \frac{{f\left( x \right)g'\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}} = \frac{{f'\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g'\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}}\end{align*}$
