تقارن استوانه ای

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
abdossamad2021

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۲/۲۰ - ۱۶:۱۵


پست: 21

سپاس: 1

تقارن استوانه ای

پست توسط abdossamad2021 »

سلام دوستان
می خواستم بپرسم وقتی یک شکل نسبت به یک محور تقارن استوانه ای دارد معنی اش چیست به صورت ریاضی و مفهومی
با تشکر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1444

سپاس: 3078

جنسیت:

تماس:

Re: تقارن استوانه ای

پست توسط rohamjpl »

بزار من مثال بزنم میدونی چرا پنچره هواپیما بیضی هست. برای اینکه کابین هواپیما بتواند این فشار را تحمل کند نیازمند طراحی استوانه ای است. چون طراحی استوانه ای باعث می شود هواپیما در برابر فشار آورده شده پایداری بیشتری داشته باشد. حالا اگر پنجره های به کار رفته در این طراحی مستطیل شکل باشند فشار وارد شده بر بدنه هواپیما که در حال رد شدن از آن هستند بر گوشه های پنجره جمع می شود و احتمال شکستن پنجره و ترک خوردن بدنه هواپیما وجود دارد
در فیزیک، تقارن شامل ویژگی ‌های فیزیکی یا ریاضیاتی از یک سامانه فیزیکی می‌شود که تحت برخی تبدیل‌ها حفظ می شوند و یا بدون تغییر باقی می مانند.
برخی از تبدیلات، مانند چرخش یک دایره، پیوسته و برخی مانند تبدیل بازتاب یک شکلِ دوطرفه‌متقارن یا چرخش یک چندوجهی گسسته‌اند. هرکدام از این تبدیل‌ها به تقارن متناظر به خود منجر می‌شوند.
در تقارن استوانه ای، فقط یک محور چرخش وجود دارد و آن همیشه عمودی است. تقارن استوانه ای معمولاً در برج ها، ستون ها و گنبدها دیده می شود استوانه دارای یک محور تقارن است که از وسط پایین می رود، زیرا وقتی استوانه را می چرخانیم، در هر نقطه از چرخش یکسان به نظر می رسد. بنابراین می توانیم بگوییم که دارای ترتیب بی نهایت تقارن دورانی است. ... به طور خلاصه یک استوانه دارای تقارن صفحه است و همچنین دارای یک محور تقارن است
همانطور که سیلندر می تواند به دو قسمت تقسیم شود، می توانیم بگوئیم بله، آیا تقارن هواپیما دارد. جامد یک محور تقارن را در صورت چرخش، به نظر می رسد دقیقا همان است. سیلندر دارای محور تقارن به وسط، زمانی که ما سیلندر را چرخانده می شود، در هر نقطه چرخش یکسان خواهد بود.تصویر
تعریف تقارن استوانه ای بله، این تقارن چرخشی است که به $(\rho,\theta, z)$ اشاره دارد.
مختصات سطح و خطوط ترسیم شده بر روی یک سطح چرخشی ... وضعیت به نام تقارن محوری است:
یک نصف النهار$\rho= f(z)$ (قرمز) حول محور تقارن ρ=0 می چرخد ​​که در امتداد آن z
یک متغیر مستقل است. خطوط محیطی مشکی نشان داده شده است.نصف النهار تعریف شده است
$\rho= f(z)$برای قرار دادن نقطه ای در این سطح از چرخش، ρ را حل/پروژه می کنیم
بیشتر روی (x,y)محورها این طرح امکان تعریف تقارن محوری را برای پارامترسازی هر نقطه روی سطح چرخش در سیستم مختصات استوانه‌ای با استفاده از دو پارامتر فراهم می‌کند:$\{\rho \cos \theta, \rho \sin\theta,f^{-1}(\rho)\}$
کجا (ρ,θ)می تواند توابعی از پارامتر چهارم باشد، مثلاً طول قوس یا زمان برای فرم پارامتریک سطح سه بعدی. این فرم وضعیت مارپیچی غیر نصف النهار را تعریف می کند:
$\{\rho (s) \cos \theta(s),\; \rho (s)\sin\theta(s),\; f^{-1}\rho(s)\}.$
$\{ \rho (t) \cos \theta(t),\; \rho (t)\sin\theta(t), \;f^{-1}\rho(t)\}$
این را می توان به عنوان یک مورد مفید ویژه برای خط پارامتریک سه بعدی با یک پارامتر برای وضعیت غیر نصف النهار نیز نوشت:
$\{ \rho (\theta) \cos \theta,\; \rho (\theta)\sin\theta, \;f^{-1}\rho(\theta)\}.$
مثال میدان الکتریکی یک استوانه بی نهایت با چگالی بار حجمی یکنواخت را می توان با استفاده از قانون گاوس به دست آورد. با در نظر گرفتن سطح گاوسی به شکل استوانه در شعاع r > R، میدان الکتریکی در هر نقطه از استوانه قدر یکسانی دارد و به سمت بیرون هدایت می شود.تقارن استوانه ای برای تعیین اینکه آیا یک توزیع بار معین دارای تقارن استوانه ای است یا خیر، به مقطع یک سیلندر بی نهایت طولانی نگاه می کنید. اگر چگالی بار به زاویه قطبی مقطع یا در امتداد محور بستگی ندارد، در این صورت شما یک تقارن استوانه ای دارید.
من از درس خودم مثال بگم در مکانیک، تنش سیلندر توزیع تنش با تقارن دورانی است. یعنی اگر جسم تحت فشار حول یک محور ثابت بچرخد بدون تغییر می ماند.
الگوهای تنش سیلندر عبارتند از:
تنش محیطی یا تنش حلقه ای، یک تنش معمولی در جهت مماسی
تنش محوری، تنش معمولی موازی با محور تقارن استوانه‌ای.
تنش شعاعی، یک تنش معمولی در جهات همسطح اما عمود بر محور تقارن.
این سه تنش اصلی - حلقه ای، طولی و شعاعی را می توان به صورت تحلیلی با استفاده از یک سیستم تنش سه محوری عمود بر یکدیگر محاسبه کرد.
مثال کلاسیک (و همنام) تنش حلقه، کشش اعمال شده به نوارهای آهنی یا حلقه‌های یک بشکه چوبی است. در لوله های مستقیم و بسته، هر نیرویی که توسط اختلاف فشار به دیواره لوله استوانه ای وارد شود، در نهایت باعث ایجاد تنش های حلقه می شود. به طور مشابه، اگر این لوله درپوش های انتهایی صاف داشته باشد، هر نیرویی که توسط فشار استاتیک به آنها وارد شود، یک تنش محوری عمود بر همان دیواره لوله ایجاد می کند. مقاطع نازک اغلب دارای تنش شعاعی ناچیز هستند، اما مدل های دقیق پوسته های استوانه ای با دیواره ضخیم تر نیاز به در نظر گرفتن چنین تنش هایی دارند..
تنش حلقه نیرویی است که بر ناحیه به صورت محیطی (عمود بر محور و شعاع جسم) در هر دو جهت بر هر ذره در دیواره سیلندر اعمال می شود. می توان آن را اینگونه توصیف کرد:${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {F}{tl}}\ }$
F نیرویی است که به صورت محیطی بر ناحیه ای از دیواره سیلندر وارد می شود که دارای دو طول زیر است:
t ضخامت شعاعی سیلندر است
l طول محوری سیلندر است.
یک جایگزین برای تنش حلقه ای در توصیف تنش محیطی، تنش دیوار یا کشش دیوار (T) است که معمولاً به عنوان نیروی محیطی کل اعمال شده در طول کل ضخامت شعاعی تعریف می شود${\displaystyle T={\dfrac {F}{l}}\ }$معمولاً تجزیه هر نیرویی که به یک جسم با تقارن دورانی وارد می شود، به اجزای موازی با مختصات استوانه ای r، z و θ تجزیه می شود. این مولفه‌های نیرو تنش‌های متناظر را القا می‌کنند: تنش شعاعی، تنش محوری و تنش حلقه‌ای.
ارتباط با فشار داخلی
سیستم مختصات استوانه ای روش مفید دیگری برای ردیابی ذره در فضای سه بعدی است. یک مثال عملی برج کنترل فرودگاه (منبع) است که هواپیماها (ذرات) را که برای فرود می آیند را پیگیری می کند. در یک سیستم مختصات استوانه ای
مختصات:
بردارهای واحد: (بردار واحد در جهت r در امتداد افزایش r است؛ بردار واحد در جهت تتا در زوایای قائم به r و در جهت افزایش تتا است؛ بردار واحد در جهت z در جهت تعیین می شود. حاصل ضرب بردار واحد r و تتا)

علاوه بر این، اگر سه بعدی را در نظر بگیریم، بدیهی است که سیال در یک ساختار استوانه ای شکل است (داخل a
من از درس خودم بگم استدلال های تقارن: جریان از طریق سیلندرتصویر چرا می توان به دلایل تقارن یک جریان ثابت، چسبناک، تراکم ناپذیر، مطابق با معادله N.S:
$\rho(v \nabla)v = -\nabla p + \eta \Delta v$
که از طریق یک لوله استوانه ای (بسیار طولانی) جریان می یابد، جزء در جهت x یا y ندارد و سرعت نمی تواند به z بستگی داشته باشد؟ (با کنار گذاشتن هر گونه افکت انتهای لوله) من نمی توانم هیچ استدلال خوبی پیدا کنم که واقعاً از نظر ریاضی درست باشد و نه فقط "درست به نظر برسد". پاسخ به سوال شما برای جریان لوله در واقع با استفاده از معادلات ناویر-استوکس، بلکه با استفاده از معادله پیوستگی (در مختصات شعاعی) پاسخ داده می شود:
$\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{u}=\partial_{z}u_{z}+\frac{1}{r}\partial_{r}\left(ru_{r}\right)=0$
این معادله ای است که معلمان من نیز تمایل داشتند دقیقاً آن را فراموش کنند زیرا آنها بلافاصله فرض کردند که هیچ نوسان سرعت در جهت شعاعی وجود ندارد، یعنی $u_r\left(r,z\right)\equiv0$
و سرعت در جهت محوری فقط به جهت شعاعی بستگی دارد، یعنی $u_z\left(r,z\right)=u_z\left(r\right)$
.معادله اویلر در مختصات استوانه ای برای جریان سیال متقارن محوری
معادله اویلر در دینامیک سیالات برای جریان سیال متقارن کروی می خواند
$v_r\frac{dv_r}{dr}+\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dr}+\frac{d\Phi}{dr}=0,$
که در آن، $v_r$ سرعت شعاعی و $\Phi=-1/r$ است
پتانسیل گرانشی نیوتنی است.
اکنون، من با یک جریان سیال سروکار دارم که به صورت کروی متقارن نیست، بلکه یک جریان متقارن محوری است، و از مختصات استوانه ای استفاده می کنم. از آنجایی که جریان متقارن است، باید سرعت سیال را در امتداد محور عمودی در نظر بگیرم (یعنی z
-جهت). من معادله اویلر را در مختصات استوانه ای (r,φ,z) به صورت زیر استخراج کردم:
$v_r\frac{dv_r}{dr}+v_z\frac{dv_z}{dr}+\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dr}+\frac{d\Phi}{dr}=0.$
با این حال، مطمئن نیستم که آیا معادله صحیح را به دست آورده بودم یا خیر.I hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
تصویر

ارسال پست