حدس کولاتز در اثبات توسط سیمونز و دو وگر چون خودم روشهای محاسبات عددی و رياضيات مهندسي شيدفر خوندم لذا با این مفاهیم سرکاری ندارم اما با پرسیدن از دوستان و جستجو پیدا کردم خوب اونچه خوندم من در مورد دو مشاهدات اول در بیانیه معادله زنجیره ای نمیدونم اجازه دهید:
n یک عدد طبیعی باشد.
$T(n) = \begin{cases}
\frac{1}{2}(3n + 1), && \text{if }n\text{ is odd}\\
\frac{1}{2}n, && \text{if }n\text{ is even}\\
\end{cases}$،اگر n فرد باشد n زوج است
دنباله یک دنباله فرعی فزاینده از اعداد صحیح فرد و به دنبال آن یک دنباله فرعی کاهشی از اعداد صحیح است.
یک چرخه یک چرخه m است اگر از m دنباله هایی با مجموع K اعداد فرد و مجموع L اعداد زوج تشکیل شده باشد.
چرخه غیر بی اهمیت هر چرخه ای است که دارای اعداد طبیعی بزرگتر از 2 باشد.
یک دنباله تناوبی است اگر یک عدد صحیح p≥1 در دنباله$\{ n, T(n), T^2(n), \dots, T^{p}(n) \}$ وجود داشته باشد که در آن:
$T^0(n) = n$
$T^{i+1}(n) = T(T^i(n))$
$T^p(n) = n$
$t_0, t_1, \dots, t_{m-1}$ شاخص های حداقل های محلی m در یک چرخه m باشد به طوری که:
$t_0 = 0$
$t_0 < t_1 < t_2 < \dots < t_{m-1} < p$
$s_0, s_1, \dots, s_{m-1}$ شاخص های حداکثر محلی m در یک چرخه m باشد به طوری که:
$t_0 < s_0 < t_1 < s_1 < \dots < t_{m-1} < s_{m-1} \le p-1$
$x_i, y_i$ مقادیر کمینه و ماکزیمم محلی باشد به طوری که:
$x_i = T^{t_i}(n)$
$y_i = T^{s_i}(n)$
$k_i, l_i$ طوری تعریف شود که:
$k_i = s_i - t_i$ برای $i = 0, \dots, m-1$
$l_i = t_{i+1} - s_i$ برای $i = 0, \dots, m-2$ و $l_{m-1} = p + t_0 - s_{m-1}$
$K = \sum\limits_{i=0}^{m-1}k_i$
$L = \sum\limits_{i=0}^{m-1}l_i$
من در مورد مشاهده 1 و مشاهده 2 در رابطه با معادله زنجیره چیزی دستگیرم نشدالبته خوانندگان هوپا بخش ریاضیات میتونند کمک کنند ممنون میشم نظر بدن. من در مورد مشاهده 3 و مشاهده 4 چیزی فهمیدم
مشاهده 1:$x_i = 2^{k_i}a_i - 1$برای برخی $a_i \ge 1$
از آنجایی که $x_i$ فرد است، u وجود دارد که $x_i = 2u + 1 = 2(u+1)-1$
$k_i = s_i - t_i$که در آن$s_i$ شاخص حداکثر محلی و$s_i$شاخص حداقل محلی است.
برای من روشن نیست که چگونه می توانیم مطمئن شویم که$k_i$ توان 2 است که اعمال می شود.
مشاهده 2: $y_i = 3^{k_i}a_i - 1$
اگر درست متوجه شده باشم،$y_i$، مقدار ماکزیمم نیز فرد است.
برای نشان دادن سردرگمی من، بیایید فرض کنیم که $y_i = \frac{1}{2}(3x_i + 1)$ که با اعمال مشاهده 1 به دست می آید:
$y_i = \frac{1}{2}(3(2^{k_i}a_i - 1) + 1) = 3\cdot2^{k_i-1}a_i - 1$
که نشان می دهد$y_i = 3^{k_i}2^u a_i - 1$اما نه $y_i = 3^{k_i}a_i - 1$. آیا این به این معنی است که $a_i$ در مشاهده 2 با $a_i$ از مشاهده 1 متفاوت است؟
من نمی دانم که چگونه $a_i$در هر دو مشاهدات یکسان است.
مشاهده 3:$y_i = 2^{l_i}x_{i+1}$
من در این مشاهدات متوجه شدم
مشاهده 4: معادله زنجیره: $3^{k_i}a_i - 1 = 2^{k_{i+1}+l_i}a_{i+1} - 2^{l_i}$
من در معادله زنجیره ای فهمیدم. در اینجا استدلال من است.
این چیزی است که من دریافت می کنم:
$3^{k_i}a_i - 1 = 2^{l_i}x_{i+1}$
به طوری که:
$3^{k_i}a_i - 1 = 2^{l_i}2^{k_{i+1}}a_{i+1} - 2^{l_i} = 2^{k_{i+1}+l_i}a_{i+1} - 2^{l_i}$
اثبات
برای برخی از اعداد صحیح$z_i$ و $a_i$، ما داریم
$x_i \equiv z_i \pmod{2^{k_i}} \implies x_i = 2^{k_i}a_i + z_i \tag{1}$
بعد، نتایج $k_i$ عدد صحیح فرد در یک ردیف پس از اعمال مکرر تابع T که با $x_i$ شروع می شود، وجود دارد. این به مورد اول می دهد،
$\begin{equation}\begin{aligned}
T^{1}(x_i) & = \frac{3x_i + 1}{2} \\
& = \frac{3(2^{k_i}a_i + z_i) + 1}{2} \\
& = \frac{3(2^{k_i}a_i) + 3(z_i) + 1}{2}
\end{aligned}\end{equation}\tag{2}$
بعدی می شود
$\begin{equation}\begin{aligned}
T^{2}(x_i) & = \frac{3T^{1}(x_i) + 1}{2} \\
& = \frac{3\left(\frac{3(2^{k_i}a_i) + 3(z_i) + 1}{2}\right) + 1}{2} \\
& = \frac{\frac{3^2(2^{k_i}a_i) + 3^2(z_i) + 3}{2} + \frac{2}{2}}{2} \\
& = \frac{3^2(2^{k_i}a_i) + 3^2(z_i) + 3 + 2}{2^2}
\end{aligned}\end{equation}\tag{3}$
سومی است
$\begin{equation}\begin{aligned}
T^{3}(x_i) & = \frac{3T^{2}(x_i) + 1}{2} \\
& = \frac{3\left(\frac{3^2(2^{k_i}a_i) + 3^2(z_i) + 3 + 2}{2^2}\right) + 1}{2} \\
& = \frac{\frac{3^3(2^{k_i}a_i) + 3^3(z_i) + 3^2 + 3(2)}{2^2} + \frac{2^2}{2^2}}{2} \\
& = \frac{3^3(2^{k_i}a_i) + 3^3(z_i) + 3^2 + 3(2) + 2^2}{2^3}
\end{aligned}\end{equation}\tag{4}$
با ادامه این کار، نتیجه کلی برای $T^{q}(x_i)$ برای هر $1 \le q \le k_i$ که به راحتی می توانید با استقرا ثابت کنید و انجام آن را به شما واگذار می کنم تبدیل می شود.$\begin{equation}\begin{aligned}
T^{q}(x_i) & = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i) + \sum_{j=0}^{q-1}3^{q-1-j}2^{j}}{2^{q}} \\
& = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i) + 3^{q-1}\sum_{j=0}^{q-1}3^{-j}2^{j}}{2^{q}} \\
& = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i) + 3^{q-1}\sum_{j=0}^{q-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{j}}{2^{q}} \\
& = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i) + 3^{q-1}\left(\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{q}}{1-\frac{2}{3}}\right)}{2^{q}} \\
& = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i) + 3^{q}\left(\frac{3^{q} - 2^{q}}{3^{q}}\right)}{2^{q}} \\
& = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i + 1) - 2^{q}}{2^{q}} \\
& = 3^{k_i}\left(2^{k_i-q}\right)a_i + \frac{3^{k_i}(z_i + 1)}{2^{q}} - 1
\end{aligned}\end{equation}\tag{5}$
با $q = k_i$ (5) می شود
$T^{k_i}(x_i) = 3^{k_i}a_i + \frac{3^{k_i}(z_i + 1)}{2^{k_i}} - 1 \tag{6}$
برای اینکه $T^{k_i}(x_i)$ یک عدد صحیح باشد، باید عدد میانی مضرب$2^{k_i}$ باشد. از آنجایی که $\gcd(3^{k_i}, 2^{k_i}) = 1$ این عدد صحیح r را نشان می دهد
$2^{k_i} \mid 3^{k_i}(z_i + 1) \implies 2^{k_i} \mid z_i + 1 \implies z_i = r\left(2^{k_i}\right) - 1 \tag{7}$
بنابراین، r=0، $2^{k_i} \mid 3^{k_i}(z_i + 1) \implies 2^{k_i} \mid z_i + 1 \implies z_i = r\left(2^{k_i}\right) - 1 \tag{7}$ را به عنوان راه حل می دهد. همچنین، جمله میانی در (5) 0 می شود، بنابراین معادله به $T^{q}(x_i) = 3^{k_i}\left(2^{k_i-q}\right)a_i - 1$ ساده می شود. به این ترتیب، برای هر $q \lt k_i$، یک عدد صحیح فرد است که با شرط فرد بودن این مقادیر مطابقت دارد. علاوه بر این، (1) سپس مشاهده شما 1 می شود، یعنی،
$x_i = 2^{k_i}a_i - 1 \tag{8}$
با $z_i = -1$ توجه کنید که (6) آن را ساده می کند
$T^{k_i}(x_i) = 3^{k_i}a_i - 1 \tag{9}$
با استفاده از تعاریف، پس از $k_i$ تکرار اعمال T که با $x_i$ شروع می شود، مجموعه اعداد فرد به پایان می رسد و یک عدد زوج در این نقطه حاصل می شود (توجه داشته باشید این بدان معنی است که $a_i$ باید فرد باشد). وقتی T به هر عدد فرد اعمال می شود مقدار افزایش می یابد، اما با هر عدد زوج کاهش می یابد، بنابراین $T^{k_i}(x_i)$ یک حداکثر محلی است، یعنی $y_i$ شما است. بنابراین، (9) مشاهده شما 2 را می دهد، یعنی،$y_i = 3^{k_i}a_i - 1 \tag{10}$
hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا