هوپا، انجمن علم ایران

سلام، فضای دوگان چیست؟

فکر کنم فضای بُرداری متشکل از همۀ تابعک‌های خطی بر یک فضای بُرداری مفروض باشه .فضایی گفته می‌شود که از نگاشت‌های خطی X به K تشکیل شده که گاهی به آن‌ها تابعک‌های خطی پیوسته (Continuous Linear Functionals) نیز می‌گویند.شکل ان $ X’= B(X,K)$ نشون میدنhope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا

فضای دوگان و یا فضای باناخ به فضای مورد نیاز جهت اندازه گیری بردارهای دو تابع و عملگرهاش به صورت مشترک گفته میشود --- فضایی که لازم دارید که با یک متر در این فضای مشترک بتونید هر دو بردار را اندازه بگیرید این تعریفش است ولی من به محاسباتش وارد نیستم -- یک تابع و عملگرهاش یک بردار داره و یک تابع دیگه و عملگرهاش نیز بردار دیگری --حالا شما اگر بخوای یک متر برداری و این دوبردار را اندازه بگیرید با متر به یک فضا ی مشترکی نیاز دارید به این فضای مورد نیاز فضای دوگان یا باناخ گفته میشود------- البته خیلی مطمعن نیستم برداشت خودم را نوشتم اشتباه مردود نیست

فضای Banach یک فضای برداری هنجاری کامل در تحلیل ریاضی است. همین ترتیب، فضای باناخ، یک فضای ضرب داخلی برداری است. این امر به این معنی است که براساس بردارها و عمل ضرب داخلی آن‌ها، فضای باناخ تعریف می‌شود. یعنی فاصله بین بردارها با ادامه دنباله به یکدیگر نزدیکتر می شود
فضای دوگانه برای همه فضاهای برداری تعریف شده است و برای جلوگیری از ابهام ممکن است فضای دوگانه جبری نیز نامیده شود. هنگامی که برای یک فضای برداری توپولوژیکی تعریف می شود، یک فضای فرعی از فضای دوگانه، مربوط به تابع های خطی پیوسته، به نام فضای دوگانه پیوسته وجود دارد.در ریاضیات، به‌ویژه در شاخه تحلیل تابعی، فضای دوگانه به فضای همه تابع‌های خطی پیوسته در فضای واقعی یا مختلط باناخ اطلاق می‌شود. فضای دوگانه یک فضای باناخ زمانی که دارای هنجار اپراتور باشد باز هم فضای باناخ است
X را یک فضای Banach و فضای دوگانه $X^* = L(X, \mathbb{R})$ است. فرض کنید که $x, y \in X$ طوری که $T(x)=T(y)$ برای تمام$T \in X^*$. این یک سوال است: x=y یا x≠y؟

من سعی کردم $x_n \to x, y_n\to y$ را فراخوانی کنم، بنابراین $T(x_n) \to T(x)$ و$T(y_n)\to T(y)$ داریم. ولی هنوز نمیتونم حلش کنم و حالا نمی دونم از کجا باید شروع کنم؟اگر x و y به صورت خطی مستقل باشند، می‌توانیم تابع خطی پیوسته f را در $M=span \{x,y\}$با $f(ax+by)=a$ تعریف کنیم. توسط نظریه هان باناخ می توانیم f را به عنصر T از $X^{*}$ بسط دهیم و T(x)=f(x)=1$ $و T(y)=f(y)=0$ $داریم، بنابراین $Tx\neq Ty$
نتیجه. x و y باید به صورت خطی وابسته باشند. فرض کنید$ y=ax. f$ را در $span{x} با f(cx)=c$ تعریف کنید و دوباره قضیه هان باناخ را اعمال کنید. نتیجه بگیرید که باید a=1 داشته باشیم پس$ x=y.$hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا