تابع ناپیوسته با دامنه و برد R که در شرط زیر صدق کنه

[ashkanOo]

یه تابع با شرایط فوق میشه مثال زد؟

یه تابع ناپیوسته با دامنه و برد R که در شرط زیر صدق کنه
(F(X)+F(Y)=F(X+Y

[mmeftahpour]

باسلام
این سوال شما حالت خاصی از مسئله شماره 5 هیلبرت هست. یک جواب بدیهی (با جبر در حد دبیرستان) F(x)=kx است که البته این تابع پیوسته است. معادلات پیچیده ایی هم هستند که پیوسته هستند و در شرط فوق صدق می کنند - اما برای معادله ناپیوسته دوستان باید همفکری کنند.

[aalireza]

[tex]f(x):=\left\{\begin{matrix}
x~~~~~x\in\mathbb{Q}\\
2x~~~~~x\in\overline{\mathbb{Q}}
\end{matrix}\right.[/tex]

[mmeftahpour]

با سلام
f (1+pi)=2×(1+pi)=2+2 pi
f (1+pi)=f (1)+f (pi)=1+2 pi
این دو مقدار با هم برابر نیستند، پس وقتی یکی از اعداد گویا و دیگری گنگ باشد ؛ تابع f نمیتواند شرط ( f (x+y)=f (x)+f (y را پوشش دهد .