سلام،
خیر.اثبات نیست و اثباتی وجود ندارد و اصلا، اثبات بی معناست دربارهصفر فاکتوریل؛
در واقع، موضوع مربوط می شود به ؛ « متدلوژی » هر علم و در اینجا به « متدلوژی » علم ریاضی یا « اصول منطق » ریاضی یا همان « فلسفه علم ریاضی » ،( The philosophy science of mathematics).
در حقیقت، علوم ، اولویت اشان، سودمندی و کاربردی بودن موضوعات و نتایج آنهاست نه « حقایق ».
مثلا، واقعا در طبیعت و عالم خارج اعداد 1 2 , 3, ...
وجود ندارند بلکه یک سیب یا یک درخت یا ... وجود دارد، یک شی وجود دارد.
و همچنین مفهوم بینهایت در ریاضی و کاربردش که اصلا، مفهوم واقعی بی نهایت نیست و برعکس ،کاملا محدود و دارای نهایت است ! مثلا در کاربرد حد و انتگرال و ... .
و جالب تر، مفهوم «صفر» در ریاضیات است!
صفر یعنی؛ «هیچ» و «عدم » .
اما ، در ریاضی آن عدم / هیچ یعنی؛ صفر یعنی آن بی وجود چنان وجودی می یابد که در هر عددی که ضرب شود، هر قدر که آن عدد بزرگ هم باشد، هر قدر بزرگ که بشود تصور کرد، آنرا «بی وجود» و « صفر» می کند!!!
« آنچنان وجودی ، خدا هم نا فرید !! »
بهرحال ،
در رابطه(فوق) و یا دررابطه ؛
n×(n−1)×…×(n−(n−1))=n!/(n−(n−1)−1)!=
n!/(1−1)!= n!/0!
چونبه تناقض می رسیم، برای رفع تناقض چنان
« فرض و قرارداد» می کنیم یعنی ؛
در تعریف فاکتوریل داریم :
n!=n×(n−1)!
n×(n−1)×…×(n−r)=n!/(n−r−1)! , r<n
و اگر ؛ r=n-1 باشد ، خواهیم داشت:
n×(n−1)×…×(n−(n−1))=n!/(n−(n−1)−1)!=
n!/(1−1)!= n!/0!
برای برقرای تساوی به علت « سودمندی » عظیم آن در ریاضی و مهندسی که جنبه کاربردی یعنی عینی دارد ، فاکتوریل، !0=1 را در نظر می گیرند تا در محاسبات به نتیجه برسند و نامفهوم نباشند.